这篇论文是为了“第三届数学文化征文比赛

从HPM的角度看等腰三角形的性质

课堂记录

作者:陈龙

工作编号: 058

1.创设情境，引入话题

老师:PPT展示以下图片。

图中的屋顶给了我们怎样的几何形象？

生:等腰三角形。

老师:我们再来看看这块古罗马墓碑。学生能猜出墓主的身份吗？

我听一些同学说，如果我们能翻译墓碑上的字母，我们就可能知道墓主人是谁。太好了！其实虽然我们看不懂他的墓志铭，但是有同学注意到这个墓碑的顶部很有特色吗？(学生在老师的指导下专注于墓碑顶部)

生1:我观察这个墓碑的顶部是等腰三角形和铅垂线的组合。

生2:我们可以猜测这个墓主人一定是从事几何和测量相关的工作。也许他生前是一位伟大的数学家。

老师:学生的观察和推理能力真强！据考证，这块墓碑的主人生前是一名土地测量员。想必他一定对自己的几何知识和土地测量员的身份深感自豪。所以，他把他的工具刻在了墓碑上。事实上，如果我们抽象出这个墓碑顶部的几何图形，我们就会得到右边的图形。这个图形由一个等腰三角形和一条垂在顶点的铅垂线组成。这是一种叫做水平仪的工具。这是一个非常古老的工具。在我国，我国古代勤劳智慧的劳动人民也掌握了它的工作原理，并应用于生产生活的实际。当工匠建造房屋时，他们可以用它来测量横梁是否水平。你知道原因吗？不懂？想知道关卡是怎么运作的吗？上完今天的课你就明白了！好了，我们继续今天的探索之旅，一起探索等腰三角形的本质吧！

老师:把题目写在黑板上:等腰三角形的性质

设计意图:从学生的实际生活和知识水平出发，感受生活中的等腰三角形，通过古罗马墓碑抽象出的水平仪提问，渗透数学文化，引起学生的好奇心，激发学生的好奇心和解决问题的兴趣。

二。探索新知识的实践操作

老师:按照下面的步骤，看看我们能得到什么样的几何。为什么？能解释一下原因吗？

生:得到等腰三角形。

生:原因是根据等腰三角形的概念，等边的三角形叫等腰三角形。

师:相等的两条边叫腰，另一条边叫底边，两条腰之间的夹角叫顶角，底边和腰之间的夹角叫底角。

设计意图:让学生利用轴对称切割等腰三角形，复习等腰三角形的相关概念，为探索等腰三角形的性质做准备。

老师:仔细看自己剪的等腰三角形纸。你能找出这个等腰三角形有什么特征吗？

学生:独立思考(由老师巡回指导)。

师生活动:学生独立思考后，尝试总结自己剪的等腰三角形纸片的特点，并交流报告。如果学生找不到结论，或者结论总结不全面，教师在巡视时给出以下提示:将剪好的等腰三角形纸片沿折痕对折，找出重叠的线段和角度。

设计意图:让学生从一个等腰三角形入手，发现其特殊性。

老师:你们每个人剪的等腰三角形的纸片大小不一，形状也不一样。都有上面总结的特点吗？

师生活动:学生相互比较，分组合作交流，共同探索总结，完成下表。

性质一:等腰三角形的两个底角相等；

性质二:等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高重合。

设计意图:通过感性材料，让学生在动手操作过程中发现等腰三角形的共同的、本质的特征，猜测和总结三角形的性质，在此过程中形成感性认识，重视知识形成的过程，培养学生自主探究的学习方法。

师:用实验操作的方法，我们发现并总结了等腰三角形的性质1和性质2。对于性质1，哪位同学能告诉我们这个命题的题目和结论是什么？

生:题目是:三角形是等腰三角形；结论:它的两个底角相等。

老师:你能画一个图形，用符号语言写出已知的和已验证的信息吗？

生:已知:如图，in △ABC，AB =AC..

证明:∠ b = ∠ c。

老师:太好了！我们学过哪些证明角度相等的方法？

生:两条直线平行，同位置角相等，错角相等；都等着。

师:结合刚才的作图和操作(将等腰三角形纸对折)，你想用什么方法证明∠B=∠C？

学生:取底边中点D，连接AD，构造全等三角形。

生:我觉得可以作为底边的高度。根据“HL”也可以证明两个三角形全等。

生:我做了顶角的平分线。根据“SAS”可以证明两个三角形全等。

老师:三个学生的方法都是正确的。下面以底部中心线为例，请同学们谈谈证明的方法。

师生活动:学生可以独立完成。教师巡回，个别指导。

老师的示范。

已知:如图，in △ABC，AB=AC，BD = CD。

证明:∠B =∠C

证明:在△ABD和△ACD中

∴△Abd≔△ACD(SSS)。

∴∠B =∠C

老师:还有别的证明方法吗？

生:三种方法。

师生活动:学生板书表演(选择一种喜欢的方法)教师有意识地选择不同方法的学生上台表演。

设计意图:这里让学生经历一个完整的命题证明过程，在书面语言、符号语言、图形语言之间进行转换。我们可以从运算中找出添加辅助线的方法，体会到添加辅助线与解决问题的关联性。同时老师会在黑板上演示，在规范学生书写格式后让学生用各种方法证明，感觉不同的辅助线指向同一点。

师:这样，我们就证明了性质(等边等角)。

从上面全等三角形的证明过程中，你能得出什么结论？

健康:∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90。

师:以上三种证明方法中的辅助线有什么特点？

生:都是折痕AD。

老师:好！现在让我们一起来阅读大自然。

生:一起读书的品质

老师:你发现了什么？

生:原始的自然是自然的扩展！本质上都是一样的！证明自然，证明自然！

老师:你怎么理解“三合一”？

生:如果是等腰三角形顶角的平分线，那么这条线也是底边的中心线和底边的高度。

生:如果是等腰三角形底边的中心线，那么这条线也是顶角和底边高度的平分线。

生:如果是等腰三角形底边的高度，那么这条线也是底边的中线和顶角的平分线。

老师:很好！如何用几何语言表达:(学生回答，老师板书)

①∫AB = AC，BD=CD

∴AD平分AD⊥BC的BAC

②∫AB = AC，AD均分为∠BAC

∴BD=CD,AD⊥BC

③∵AB=AC,AD⊥BC

∴AD平分∠BAC，BD=CD

设计意图:引导学生发现等腰三角形的共同本质特征。并通过证明，进一步培养学生的抽象概括能力和初步的逻辑推理能力；如果学生真正理解了“三位一体”的含义，就会把“三位一体”分解成三个命题，体验等腰三角形性质2的本质。

三。回顾日历的历史，找到根

师生活动:老师PPT展示著名的等边等角历史证明法，学生欣赏品味。(以下是PPT演示，以欣赏为主。)

老师:你知道吗？等腰等角是欧几里得《几何原本》第一章的第五个命题:

原命题是:“在等腰三角形中，两个底角相等；而如果腰部向下延伸，那么底部以下的两个角是相等的。

如果用现代符号表示，这个命题的陈述和证明如图:

设ABC为等腰三角形，AB=AC，延伸AB，AC得到BD，CE，

那么∠ABC=∠ACB，∠CBD=∠CBE。

证明:取BD中任意一点F，切AE中AG=AF(命题3)，连接FC和GB。

AF = AG，AB=AC，∠FAG为公角。

∴△afc≌agb(4号提案)

∴FC=GB,∠ACF=ABG,∠AFC=∠AGB.

还有:AF=AG，AB=AC

∴BF=CG

∠∠AFC =∠AGB，FC=GB

△BFC≔△CGB(命题4)

∴∠FBC=∠GCB.∠BCF=∠CBG

还有≈ABG =∠ACF

∴∠ABC=∠ACB

老师:这个命题是欧几里得《几何原本》第一章的第五个命题，也就是全书的第五个命题。据说中世纪的时候，欧洲的数学水平很低。学生初读“原文”，学习第五个命题“等腰三角形的底角必相等”时，觉得很难。所以这个命题被嘲讽为“驴的桥”，意思是傻子都过不去的难关。也有人推测这个名字来源于欧几里德的制图，很像最简单的木桁架桥。

老师:除了欧几里得，历史上还有很多著名的学者研究过等腰等角。等腰等角还有很多其他证明。让我们来欣赏一下历史上那些大数学家的风采。

帕普斯法医学欣赏

帕普斯(约公元300-350年):古希腊数学家，公元4世纪。

证明了“等腰等角”，其证明方法别出心裁，把△ABC看成两个三角形，一个是△ABC，一个是折叠后的△ACB。

AB = AC，AC=AB，∠BAC=∠CAB，

∴△ABC≌△ACB(SAS)，

∴∠ABC=∠ACB。

欣赏普罗克拉斯的法医方法

普罗克洛斯:(普罗克洛斯，公元410- 485年)公元5世纪。他还证明了“等边等角”(图2)。他的证明方法和欧几里得的类似，同样使用三角形同余的“角边”判断法。但普罗克拉斯并没有延伸腰部AB和AC，而是直接在腰部AB和AC上取E点和D点，使AE=AD，然后连接EC和DB。同样，他用“角边”两次证明三角形同余。

设计意图:了解数学史，渗透数学文化，感受数学课的人文精神和教育价值，从而激发学生的学习兴趣和热情。

四。运用新知识解决问题

老师:现在，你能解释一下水平仪是如何帮助工匠测量横梁是否水平的吗？

当铅垂线通过底边中点时，横梁是水平的。

老师:为什么？推荐人是谁？

生:以横线为参照，我们可以从这个实际问题中抽象出上图所示的数学模型。所以这个问题转化为证明BC平行于直线l，利用等腰三角形的性质2，就做到了。

老师:太好了！水平仪是一个非常古老的物体。事实上，今天世界上许多地方仍在使用它。它的工作原理就是我们今天学到的等腰三角形的“三合一”。中国古代的劳动人民非常勤劳和聪明。

设计意图:学以致用，介绍历史中关卡的使用。一方面与课堂导入相呼应，另一方面让学生感受等腰三角形在现实生活中的应用，实现数学来源于生活，服务于生活的新课程理念。同时，感受中国古代劳动人民的智慧，增强他们的文化自信和民族自豪感。

五、课堂实践，能力提升

1.已知在△ABC中，AB=AC，∠ B = 80。求∠C和∠ a的度数。

老师:这里∠B是-？

生:△ABC的底角？

老师:你怎么知道？

健康状况:已知状况

生2:画个图，一看就知道。

学生独立完成。

变体训练:

(1)已知在等腰三角形△ABC，∠b = 80°中，求∠C和∠ a的度数。

老师:这个问题和上一个问题有什么区别？

生:没有告诉我们∠B是顶角还是底角，需要分类讨论。(让学生尝试独立完成，然后集体评论，并引导学生自己画图帮助理解。)

已知在等腰三角形△ABC，∠ b = 100，求∠C和∠ a的度数。

老师:这个问题需要讨论吗？为什么？

生:不会，因为底角不会超过90。

生:独立做。

总结:在等腰三角形中，如果知道任意一个角的度数，就可以求出另外两个。当已知条件中未明确给出的角为锐角，不知道是顶角还是底角时，需要分类讨论。

2.如图，AB=AC，AD是△ABC的中心线，∠ B = 50，则∠ bad =

生:用三线合一，可以看到AD还是高于△ABC的。

设计意图:通过典型例题的变化，培养学生的发散思维，渗透分类讨论的数学思想。教师可以通过适当的“导入”来启发学生积极“探究”，使师生双边活动“共振”，和谐发展。

六。总结、扩展和改进

老师:同学们，这节课你们收获了什么？

生:等腰三角形的性质是:“等边等角”和“三条线合一”

生2:我觉得数学知识往往是通过动手操作获得的。

生3:知道数学史上那么多数学家对等腰三角形的探索和证明，真是大开眼界！

生4:我也知道液位计是怎么工作的，感觉棒极了！

……

七。分级经营，整合与提升

(1)a组:

1.在等腰三角形△ABC，∠a = 60°中，求∠C和∠ b的度数。

2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC在d点，过d点如同DE⊥AB在e点，DF⊥AC在f点，若BE=3，求CF的长度

设计意图:1、2都是简单的应用，以便更好的理解属性。同时为下一节研究等边三角形做铺垫。(全班都要完成。)

b组

1.如图，在△ABC中，AB = AC = 5，AD等于∠BAC，而AD = 4，BC = 6。如果点P在边AC上移动，求BP的最小值。

设计意图:简单的应用性质2，在一组的基础上稍作改进和扩展，帮助学生。(供中级以上水平的学生选择。)

c组。变体:

证明:底边到两腰距离相等的点在顶角平分线所在的直线上。

设计意图:这个班的同学对文字证明题比较陌生，对三种语言之间的转换不是很精通。所以设置这个问题，既巩固了文字证明题的解题方法，又拓展和丰富了练习，供有空余时间的同学选择。

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