无限和是数学中最被低估但最强大的概念之一，能够将概念连接在数学的广阔网络上。

纯粹的才华很难击败约翰·冯·诺伊曼。冯·诺伊曼​是现代计算机的建筑师和博弈论的发明者，他首先是传奇人物，因为他的思维计算速度很快。

故事是，有一天有人用谜题挑战他。两名骑自行车的人从 20 英里长的公路的另一端出发。每个骑自行车的人以每小时10英里的速度向对方移动。当​它们​开始时，​一只​坐在其中一辆自行车的前轮上的苍蝇起飞，并以每小时15英里的速度向另一辆自行车飞奔。它一到那里，它就会立即转身，向第一辆自行车拉链，然后又回到第二辆自行车，​依此类推​。它不停地来回飞行，直到当自行车碰撞时，它终于挤在他们的前胎之间。苍蝇在被挤压之前总共走了多远？

听起来很难。苍蝇来回的旅程由无限多的部分组成，每个部分都比之前的部分短。将它们加起来似乎是一项艰巨的任务。

但如果你想到自行车手，而不是苍蝇，问题就变得很容易了。在一条20英里长的道路上，两名以每小时10英里的速度接近对方的自行车手将在1小时后在中间相遇。在那个小时里，无论苍蝇走哪条路，它一定走了15英里，因为它每小时走了15英里。

当冯·​诺伊曼​听到这个谜题时，他立即回答说：“15英里。”他失望​的​提问者说：“哦，你看到了诀窍。”“什么把戏？”冯·​诺伊曼​说。“我刚总结了无限系列。”

无限序列——遵循特定规则的无限多个数字、变量或函数的总和——是微积分伟大戏剧中的​位​玩家。当衍生品和积分正确地抢尽风头时，无限系列适度地站在一边。当他们确实出现时，课程快结束时了，因为每个人都在拖着自己越过终点线。

那么为什么要研究它们呢？无限级数有助于找到困难问题的近似解决方案，并说明数学严谨性的微妙之处。但除非你是一个有抱负的科学家，否则那都是一个大哈欠。此外，无限级数通常无需任何现实世界的应用程序即可呈现。少数出现的人——年金、抵押贷款、化疗方案的设计——在青少年观众看来可能很遥远。

学习无限系列（或者我告诉我的学生）最令人信服的原因是它们是令人惊叹的连接器。它们揭示了数学不同领域之间的联系，以及之前所有事物之间的意外联系。只有当你到达微积分的这一部分时，数学的真正结构——所有数学——才最终开始出现。

在我解释之前，让我们看看另一个涉及无限系列的谜题。逐步解决这个问题将澄清冯·​诺伊曼​如何解决苍蝇问题，并为更广泛地思考无限级数奠定基础。

假设你想从街头小贩那里买一顶花哨的帽子。他要24美元。“12美元怎么样？”你说。“让我们分成分歧，”他回答说，“18美元。”

这通常会解决这个问题。拆分差异似乎是合理的，但对你来说不是，因为你读过同样的谈判手册《无限讨价还价的艺术》。您用自己的报价来抵消差额，只是现在在12美元和桌子上最后一个数字18美元之间。“那怎么样？”你说：“15美元，这是一笔交易。”“哦，不，我的朋友，让我们再次分摊差额，16.50美元，”供应商说。这一直持续到你以相同的价格收敛。最终价格是多少？

答案是一个无限级数的总和。要查看它是什么，请观察连续的报价遵循有序模式：

24他的要价12 = 24 - 12你的第一个报价18 = 24 - 12 + 6分开12和24之间的差额15 = 24 − 12 + 6 − 3在12到18之间分割它

关键是，等号左侧的数字是从右侧不断延长的数字序列中系统地建立的。序列中出现的每个数字（24、−12、6、−3...）都是前面数字的一半，但符号相反。因此，在限额内，您和供应商将同意的价格是

P = 24 – 12 + 6 – 3 + ...

这三个点意味着该系列将永远持续下去。

我们不是试图将我们的大脑包裹在这样一个无限长的表情上，而是可以执行一个狡猾的技巧，让问题变得简单。它允许我们取消令人困惑的无限术语集合，给我们留下了更简单​的​计算。

具体来说，让我们加倍P。那也会使右边的所有数字翻一番。因此，

2P = 48 – 24 + 12 – 6 + ...

这有什么帮助？请注意，2P中的无限项链与P本身几乎相同，只是我们有一个新的前导数（48），我们原始数字的所有正负符号都颠倒过来了。因此，如果我们将P的系列添加到2P的系列中，24s和12s以及其他一切都将成对取消，除了48，48没有对应的对应物可以取消它。所以2P + P = 48，意思是3P = 48，因此

P = 16美元。

这就是你永远讨价还价后要付的钱。

苍蝇和两辆自行车的问题遵循类似的数学模式。稍作努力，你可以推断，苍蝇来回旅行的每一条腿都是前一条腿的五分之一。Von Neumann会发现总结由此产生的“几何级数”是儿童游戏，这是我们一直在考虑的特殊系列，其中所有连续术语的比例都相同。对于飞行问题，该比率是frac{1}{5}。对于讨价还价问题，它是-frac{1}{2}。

一般来说，任何几何级数S都有形式

S = a + ar + ar2 + ar3 + ...

其中r是比率，a是所谓的领先术语。如果r的比率像我们在两个问题中所做​的​那样在−1和1之间，则上面使用的技巧可以通过不乘以2而是乘以r来调整，以表明该系列的总和是

S =嘌呤基1-r。

具体而言，对于讨价还价问题，a是24美元，r是−12。将这些数字插入公式将给出S =2432，和以前一样，相当于16美元。

对于苍蝇问题，我们必须努力一点才能找到领先术语，a。这是苍蝇在来回旅行的第一站所走的距离，因此要计算它，我们必须弄清楚以每小时15英里的速度飞行的苍蝇首先与以每小时10英里的速度接近它的自行车在哪里。由于它们的速度达到15:10或3:2的比例，所以当苍蝇飞行时，它们会相遇33+2最初的20英里分离，这告诉我们一个=35× 20 = 12英里。类似的推理显示，腿收缩的比例为r=15每次苍蝇转过身来。冯·​诺伊曼​立即看到了这一切，并使用嘌呤基1-r上面的公式，他发现了苍蝇旅行的总距离：

S =121-15=1245=604= 15英里。

现在回到更大的一点上：像这样的系列如何连接数学的各个部分？要看到这一点，我们需要扩大我们对等公式的看法

1 + r + r2 + r3 + ... = frac{1}{1-r}，

与之前公式相同，等于1。而不是像15手术室−12，将r视为变量。然后，方程式说了一些令人惊叹的东西；它表达了一种数学炼金术，好像​铅​可以变成黄金。它断言，给定的r函数（此处，1除以1-r）可以转换为更简单的东西，r的简单幂的组合，如r2和r3等。

神奇的是，科学和工程领域几乎无处不在的许多其他功能也是如此。微积分的先驱发现，他们熟悉的所有函数——正弦和余弦、对数和指数——都可以转换为“幂级数”的通用货币，这是一种几何级数的强化版本，系数现在也可能发生变化。

当他们进行这些转换时，他们注意到了惊人的巧合。例如，这里是余弦、正弦和指数函数的幂级数（别担心它们来自哪里；看看它们的外观）：

cos x = 1 – frac{x^{2}}{2 !}+ frac{x^{4}}{4 !} – frac{x^{6}}{6 !}+...

sin x = x – frac{x^{3}}{3 !}+ frac{x^{5}}{5 !} – frac{x^{7}}{7 !}+...

e^x = 1 + x + frac{x^{2}}{2 !}+ frac{x^{3}}{3 !}+ frac{x^{4}}{4 !}+...

除了所有令人欣喜若狂和当之无愧的感叹号（实际上代表阶乘；4！例如，意味着4×3×2×1），请注意东方​十​诱人地接近于它上面的两个公式的混合体。要是正面和负面标志​的​交替就好了考斯克斯和辛克斯可以以某种方式与...的全积极迹象相协调东方十，一切都会匹配的。

这种巧合和一厢情愿的想法导致Leonhard Euler发现了数学史上最奇妙和影响深远的公式之一：

e^{ix} = cos x + i sin x，

其中i是定义为i =的假想数字−1?√。

欧拉的公式表达了一种令人发指的联系。它断言，正弦和余弦是周期和波的化身，是指数函数的秘密亲属，是生长和衰变的化身——但前提是我们考虑将数字e提高到想象力（无论这意味着什么）。欧拉公式由无限级数直接产生，现在在电气工程、量子力学和所有与波和循环相关的技术学科中不可或缺。

走到这一步后，我们可以迈出最后一步，这把我们带到通常被称为所有数学中最美丽的方程，对于欧拉公式的特殊情况，其中x = π：

eiπ + 1 = 0。

它连接了数学中几个最著名的数字：0、1、π、i和e。每个都象征着整个数学分支，这样方程式就可以被视为一个光荣的汇合，证明了数学的统一性。

零代表虚无，空虚，但不是数字的缺失——而是数字使我们整个数字书写系统成为可能。然后是1，单位，开始，计数和数字的基石，进而广之，是所有小学数学。接下来是π，圆圈和完美的象征，但有一个神秘的黑暗面，暗示其数字的神秘模式是无限的，永无止境，神秘。有i，虚构的数字，代数的图标，体现了创造性想象力的飞跃，使数字打破了仅仅是巨大的枷锁。最后e，微积分的吉祥物，运动和变化的象征。

当我还是个孩子的时候，我爸爸告诉我数学就像一座塔。一件事建立在另一件事的基础上。加法建立在数字上。减法建立在加法的基础上。然后，通过代数、几何、三角学和微积分上升，一直上升到“高等数学”——一个高耸的建筑的适当名称。

但一旦我学会了无限序列，我就再也看不到数学是一座塔。它也不是一棵树，就像另一个比喻会说​的​那样。它的不同部分不是分开并走​各行各​的分支。不——数学是​一张​网络。它的所有部件都相互连接和支持。数学的其余部分都没有分开。这是一个网络，有点像神经系统——或者更好的是，是一个大脑。