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这个圆圈简单、对称、精致。但我们如何衡量它呢？就这个问题而言，其实质是如何测量弯曲的形状。
关于圆，我们需要注意的第一件事是，圆上的任何一点都等于圆的中心。毕竟，只有这样，它才能变成一个圆圈。圆上任意一点与圆心之间的距离称为圆半径。因为所有的圆都有相同的形状，所以只有半径才能区分一个圆和另一个圆。我们称之为圆的周长圆周（周长，拉丁文表示“随身携带”）。我认为圆最自然的度量是它的面积和周长。
让我们先做一些近似。如果我们在圆上放置一定数量的等距点并连接这些点，我们将得到一个正多边形。
正多边形的面积和周长小于圆的相应值，但这两对值非常接近。如果我们放置更多的点，我们可以使这两对值更接近。假设我们使用了大量的点，比如n，我们得到一个正的n边形状，它的面积和周长非常接近圆的实际面积和周长。关键是，随着正n边形状边数的增加，正n边形状将越来越类似于圆。那么，这个正多边形的面积是多少？我们把它切成n个相同的三角形。
这样，每个三角形底边的长度等于正多边形的边长，即s。三角形的高度是从圆心到正多边形边缘的距离，我们称之为H。因此，每个三角形的面积为1/2hs，而正多边形的面积为1/2hsn。请注意，SN正好是正多边形的周长，因此我们可以得到以下结果方程式：
其中p是正多边形的周长。这样，利用周长和圆心到边长的距离，我们可以精确地表示正多边形的面积。
然而，当n的边数无限增加时，会发生什么？显然，正多边形的周长P将越来越接近圆的周长C，高度h将接近圆的半径r。这表明正多边形的面积必然接近1/2RC，同时，正多边形的面积总是接近圆的真实面积a。那么，唯一的结论只能是这两个值必须相等，即
这表明圆的面积只是半径和周长乘积的一半。
思考这个结论的一个好方法是想象如果圆周被展开成一条直线，直线和圆的半径就形成一个直角三角形。
我们的公式表明，圆所占的面积正好等于直角三角形的面积。
这里有一个非常重要的方法。仅仅通过做一些近似，我们就不经意间得到了圆面积的精确表示。关键的一点是，我们不仅做了几次高精度的近似，而且做了无数次的近似。我们构造了一个精度越来越高的无限逼近序列，这足以让我们看到模式并得到它们的极限。换句话说，我们可以从一个带有模式的无限近似序列中知道真相。因此，将其视为人类有史以来最伟大的想法是有道理的。
这种奇妙的方法通常被称为穷举法，它是古希腊数学家写的欧多克索斯（柏拉图的学生尤多克斯）大约在公元前370年发明了它。它允许我们通过构造一个无限的直线近似序列来测量弯曲的形状。使用穷举法构造无限近似序列的诀窍在于，构造的无限序列必须具有某种模式——无限随机数序列不能告诉我们任何有价值的信息。因此，仅仅一个无限序列是不够的。为了理解序列，我们还必须能够找到模式。
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现在，我们用一个圆来表示一个圆的面积。但周长也可以测量吗？对于正方形来说，测量周长与边长成比例是很自然的，也就是四条边的长度与一条边的长度之比。类似地，我们也可以对圆使用这种方法。圆心和圆心之间的距离是圆直径的两倍。因此，对于一个圆，类似的测量方法是周长与直径之比，即圆周率。因为所有的圆都有相同的形状，
因此，每个圆的比率相等。通常，我们用希腊字母PI或π来表示这个比率。π对圆的意义与4对正方形的意义完全相同。
计算π并不困难。例如，假设我们把一条内接线放在一个圆上正六边形。
这个正六边形的周长正好是圆直径的三倍。因为周长比这个正六边形的周长长长，我们得到π的值大于3。如果我们使用具有更多边的正多边形，我们将得到更精确的近似值。阿基米德（生活在公元前250年左右）使用规则的96边形状并获得π≈22/7.许多人误以为这是一个严格的等式，但事实并非如此。π的真值稍微小一些。相对精确的近似值是π≈3.1416，更精确的近似值是π≈355/113.这种近似是中国人在五世纪（祖冲之，（编者注）。
但π的确切值是多少？不幸的是，关于这个值的消息相当糟糕。因为π是无理数（兰伯特在1768年证明了这一财产）。因此，我们不可能将其表示为两个整数的比率。尤其是，绝对不可能将直径和周长表示为同一测量单位的整数倍。
事实上，我们面临着比处理正方形对角线更糟糕的情况。虽然√2也是一个无理数，我们至少可以这样表示，也就是“平方为2的数”。换句话说，我们可以用整数的算术来表示√2，也就是说，它是这样一个数x，它满足x²=2。尽管我们不知道√我们知道它的本质。
结果表明，π有不同的情况。它不仅不能用分数来表示，事实上，它不能满足任何要求代数关系π有什么用？实际上，它除了表示PI之外没有其他功能。圆周率就是圆周率。像π这样的数字叫做超越数（transcedental，拉丁文意为“超越”）。超越数（其中很多）简直超过了代数的表达能力。1882年，林德曼证明π是一个超越数。我们仍然可以知道像超越数这样的数，这真是太神奇了。
然而，另一方面，数学家也发现了π的许多其他表示形式。例如，莱布尼茨在1674年发现了以下公式：
这里的想法是，随着公式右侧加法项的数量增加，加法的总和将越来越接近公式左侧的值。因此，π可以表示为无限项之和。这个公式至少为我们提供了π的纯数值表示，它在哲学上也是非常有趣的。更重要的是，我们只能得到这个表达。
事情就是这样。圆周与直径之比为π。然而，对于这个比率，我们无能为力。我们所能做的就是添加它来扩展我们的语言。
特别是，半径为1的圆的直径为2，因此其周长为2π。圆的面积是半径和周长乘积的一半，也就是说，它正好是π。根据比例R放大圆，我们可以得到一个半径为R的圆，其周长和面积可以通过以下公式得到：
C=2πr
A=πr²
值得注意的是，上面提到的第一个公式实际上没有实质内容。这只是对π定义的重申。第二个公式非常深刻。这相当于我们在上一节中得到的结果，即一个圆的面积等于其半径和周长乘积的一半。
*本文摘自《度量：一首献给数学的情歌》P57-63，内容被删除和修改，标题由编辑添加，并在授权下发布。
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