在《易受攻击的素数》中，任何一个数字的变化都会使其成为复数(图片来源:广达杂志)

质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身之外，没有其他因素的自然数。1978年，数学家发现了一种“脆弱”的素数，通过将其个位数任意变为合数，称为“脆弱素数”。最近数学家们发现了更多的“脆弱素数”，这个概念又被扩展了...

我们来看看下面的数字，看能不能找出它们的特别之处:294001，505447，584141。

你可能会注意到，它们都是质数(只能被自己和1整除)，但实际上，这些数远比那个不寻常。如果我们选择这些数中的任意一个来改变它，那么新得到的数就会变成合数。比如294001中的1换成7，那么得到的数可以被7整除，换成9，那么就可以被3整除。

这些数字被称为“脆弱素数”，它们是相对较新的数学发现。1978年，数学家默里·克拉姆金提出了这类素数的猜想，随后很快得到了数学家erdős·帕尔的解答，他发表了历史上数量最多的论文。他不仅证明了脆弱素数确实存在，还证明了它们的数量是无限的。后来，其他数学家进一步推广了鄂尔多斯的结果，包括菲尔兹奖获得者陶哲轩，他在2011年的一篇论文中证明了脆弱素数是“正比例”的。这意味着，随着素数本身变大，两个连续易受攻击的素数之间的平均距离保持稳定。也就是说，脆弱素数不会越来越稀缺。

在最近发表的两篇论文中，南卡罗来纳大学的Michael Filaseta进一步阐述了这一观点，并提出了一类结构更加微妙的脆弱素数。受艾尔德斯和陶哲轩工作的启发，他设想了一个无限前导零串作为一个素数的一部分，就像数字53和…0000053具有相同的值，那么如果一个易受攻击的素数之前的任意一个零被改变，这个素数会变得复杂吗？菲拉塞塔假设这些数是存在的，并把它们称为“广义脆弱素数”。2020年11月，他和研究生Jeremiah Southwick共同发表了一篇论文，探索这些数字的本质。这一结果得到了佐治亚大学数学教授保罗·波拉克(Paul Pollack)的称赞。

迈克尔·费拉塞塔(来源:扎克·怀特/南卡罗来纳大学)

显然，这样的数字比原来易受攻击的素数更难找到。波拉克说:“294001是一个脆弱的素数，但不是广义上的脆弱素数，因为如果我们把…000294001改成…010294001，我们会得到另一个素数，而不是一个合数。

实际上， Filaseta和Suo Swick搜索了1，000，000，000以内的所有整数，并没有发现任何十进制的广义脆弱素数。然而，这并没有阻止他们的搜寻。

经过不懈的探索，他们证明了这样的数在十进制中确实是可能的，并且会有一个无穷大的数。此外，他们还证明了广义脆弱素数也成正比，就像陶哲轩的结论一样。后来，在索斯威克的博士论文中，他在2、9、11和31十进制中得到了同样的结果。波拉克对这些发现印象深刻。他说，“你可以对这些数字做出无限多种可能的改变，但无论你做出哪种改变，你总会得到一个合数。”

证明过程主要依靠两个工具。第一个叫覆盖同余(覆盖系统)，是Erdos在1950年发明的，目的是解决数论中的一个问题。索·斯维克说:“覆盖同余可以提供大量的群，同时保证每个正整数至少在其中一个群中。”例如，如果所有正整数除以2，我们可以得到两组:一个偶数组和一个奇数组。这样，所有的正整数都可以被“覆盖”，同一组中的数被认为是互相“一致”的。当涉及的数目非常大的时候，也就是寻找广义脆弱素数的时候，情况会变得更加复杂。我们需要更多的组，大约102.5万。这些组中的每一个质数，在加上任何一个数字，包括前面的零，都要保证成为合数。

然而，为了找到广义脆弱素数，这些数中的任何一个都必须在化简后成为合数。这是第二种工具，叫做筛选法。筛分法最早可以追溯到古希腊。它提供了一种计算、估计或设置满足某些性质的整数极限的方法。菲拉塞塔和索·斯维克使用了一个筛选参数，类似于陶哲轩在2011年采用的方法，即如果你取前述组中的素数，减少其中一个数，成比例的素数就会变成合数。换句话说，广义脆弱素数也是成比例的。

然后，在1月份的一篇论文中，Filaseta和他现在的研究生Jacob Juillerat提出了一个更令人惊讶的观点:有一个任意长的连续素数序列，其中每个数都是广义脆弱素数。例如，可以找到10个连续的广义脆弱素数。但这必须测试大量的质数，菲拉塞塔说。"这个数字可能比哈勃体积中的原子数量还要多."他把这比作连续10次中彩票。虽然概率极小，但还是有可能的。

菲拉塞特和朱吉拉特分两个阶段证明了他们的定理。首先，他们利用覆盖同余证明了存在一个包含无穷多个素数的群，且该群中的所有数都是脆弱素数。第二步，他们应用了Daniel Shiu在2000年证明的一个定理:在所有素数中，有任意数量的连续素数属于上述群。这可以进一步说明，这些连续素数一定是广义脆弱素数。

达特茅斯学院的卡尔·波默兰斯非常喜欢这些论文，他称赞菲拉塞塔是应用同余覆盖的大师。同时，他也指出，用十进制来表示一个数可能比较方便，但不符合数的本质。他认为有更基本的方法来表示数字，比如梅森素数定义素数P的表达式是2p-1。

在前人研究的基础上，近期一些相关论文提出了更多值得探讨的问题。比如每个十进制系统中是否存在广义脆弱素数？在两个数之间插入一个数，而不是仅仅替换一个数，会不会有无穷多个质数变成合数？

此外，Pomerance还提出了另一个有趣的问题:当数字趋近于无穷大时，所有的素数是否都会变成(广义的)脆弱素数？这是否意味着非(广义)脆弱素数的个数是有限的？虽然他和菲拉塞塔都没有想到证明这个猜想的方法。

Pomerance说:“数学研究的魅力在于，你永远无法事先知道你是否能解决一个具有挑战性的问题，或者它是否有意义。就像你无法提前决定:我今天要做一件有价值的事情，因为你不知道数学研究中什么是有价值的，所以你只能不断思考和尝试。”

史蒂夫·纳迪斯写的

翻译:周亦灿

点评:王宇

参考链接:

https://www . quanta magazine . org/mathematics-find-a-new-class-of-digitally-precious-primes-2021 03 30/