作者 | 张思明（北京大学附属中学） 胡凤娟、王尚志（首都师范大学）
来源 | 原载于《数学教育学报》，2017，26（6）：10-13，感谢“数学教育学报JME”公众号授权转载！
摘要：2017年6月，由美国数学及其应用联合会（COMAP）、美国工业与应用数学学会（SIAM）联合原著，由梁贯成、赖明治、乔中华、陈艳萍教授编译的《数学建模教学与评估指南》由上海大学出版社出版发行，阐述的主要观点是：数学建模是一个过程；数学建模具有重要的育人价值；从学前到大学开展数学建模是可行的；数学建模的教学是有规律的；数学建模的评价是可行的；积累资源是建模实施的重要保障。数学建模活动进入新修订的《普通高中数学课程标准》，这对全体教师实施数学建模活动的教学是有挑战性的，《数学建模教学与评估指南》一书提供了丰富的资源、教学原则和评价工具等。
1 数学建模发展背景
20世纪70年代左右，英国剑桥大学教授把自己的项目分解成一些学生可以解决的问题交给他们来做。这就成了数学建模最原始的模型，用问题来调动学生学习数学的积极性。几个学期下来，就逐渐形成一门受欢迎的课程——数学建模课程．最初数学建模课程是给博士研究生上，后来尝试给硕士生上，发现也比较成功，再接下来给大学生上，最近开始给中小学学生上．当然不同阶段的建模问题不同．数学建模的优势很快得到欧洲、美国等一些西方发达国家的认可，也开始把数学建模的内容正式列入课程中。
为了激发学生参与数学建模课程的积极性，1985年，美国开始举行每年一度的大学生数学建模竞赛MCM（1987年前的全称是Mathematical Competition in Modeling，1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling）[1]。
数学建模很快也引起了中国数学家和政府的重视，1989年在叶其孝教授等多位长期从事数学建模研究的大学教师的组织和推动下，中国几所大学的学生开始参加美国的竞赛．1994年，教育部将全国大学生数学建模竞赛列为4项大学生课外科技活动之一。
与此同时，美国科学院国家研究委员会在1989年发表的调查报告“关于未来数学教育的报告”中把数学建模进入中学列为数学教育改革最急需的项目．上海市1991年，组织了“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛（也称为“中学数学建模竞赛”）。北京在1994年组织了第一届“方正杯”中学生数学知识应用竞赛，有两千多人参加竞赛．从1997年开始，北京数学会等5家单位组织，把“高中数学知识应用竞赛”作为正式的科普活动，定期开展，到现在已经举办了20届，参加的学生来自北京、江苏、四川等多个省份[2]。
数学建模成为《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准（实验）》）[3]的一部分，要求高中阶段至少应安排一次较为完整的数学建模活动[3]；正在修订的《普通高中数学课程标准》将数学建模作为数学核心素养，同时给出了数学建模活动一定的课时和相应的要求．目前中国部分中学成功开设的数学建模选修课；中学生的数学建模成果在大学生数学建模竞赛、全国创新大赛、美国inter创新大赛上屡屡获奖。
通过数学建模活动的实施和推广，越来越多的数学家和数学教育工作者，逐渐认识到数学对人发展的作用，提出要重视数学应用能力的培养，要关注如何通过数学培养人的理性思维、创新精神和实践能力等。
2 《数学建模教学与评估指南》一书简介
尽管已经有了很好的准备，但是数学建模从课程到课堂依然充满了挑战．比如：如何编写教材？如何组织教学？如何进行评价？考试怎么考？等等。
2017年6月，由美国数学及其应用联合会（COMAP）、美国工业与应用数学学会（SIAM）联合原著，由梁贯成、赖明治、乔中华、陈艳萍教授编译的《数学建模教学与评估指南》（以下简称《指南》）一书，由上海大学出版社出版发行．作者有幸第一时间阅读了此书，从中受到不少启发，有助于开阔思路，更好地面对挑战，在此希望介绍给读者。
《指南》一书共分为5章：
第一章：什么是数学建模．作者认为，数学建模是一个过程，由厘定要解决的具体问题、作出假设并定义基本变量、数学求解、分析并评估模型和解决方案、按需要进行迭代以完善和扩展模型、实施模型并报告结果6个要素组成。
在该章最后，作者给出了数学建模教学的原则：
◆ 建模如同真实的生活是开放的、繁杂的。
◆ 当学生建模时，他们必须做真正的选择。
◆（课堂的）改变无论大小，只是开始。
◆（建模的）评价应侧重过程，而不是结果。
◆ 建模工作不是孤军作战（提倡学生团队协作、利用好网络资源等）。
第二章：低中年级数学建模（学前班~8年级）．该章从以下几个方面进行展开：（1）学前班~8年级是一个自然学习数学建模的过程，有很多优势，例如利用和保护孩子的积极性和好奇心，有利于数学、其它科目，甚至课外观点的教学和评估；（2）讨论了如何对学前班~8年级的学生一一开展建模过程的各个要素；（3）以“午餐问题”作为例子说明如何在每个年级段中展开整个过程；（4）作为建模教师的行为，包括教师在学生建模中扮演的角色、如何评估建模本身的学习等。
第三章：高中数学建模（9~12年级）．该章说明第一章给出的5条数学建模教学原则，对于高中数学建模也是同等重要，但它们在高中数学建模课堂上的表现形式却不相同．对于高中数学建模教师实施数学建模教学给出5条原则：
◆ 从小问题入手。
◆ 用引导性问题和课堂讨论，支持初步经验的形成。
◆ 使用日常经验来激发数学方法的使用。
◆ 使用小型的建模情境、使得只需一两个要素就能组成一个完整的建模周期。
◆ 与家长和管理者分享你的目标和教学实践。
第四章：大学本科数学建模．该章重点介绍了大学数学建模课程如何设置（给出了两种可选的课程组织结构：建模过程和主题教学法），包括如何开展入门课、如何设置目标；介绍了最常见的数学模型和建模工具；探讨了教师在数学建模课程中扮演的角色：问题开发者、课程开发者、课堂教学指导者、教练；最后，回到了数学建模的教学原则。
第五章：什么是数学建模：艺术与品味．该章通过直接引用的方式呈现了《指南》一书的作者团队所认为的数学建模是什么以及不是什么．这一章是站在数学建模的实践者和数学教育工作者的角度来强调数学建模的艺术性和品味。
该书还有6个非常实用的附录，分别是：
附录A试图向读者说明从公共资源中可获取的建模问题类型；帮助读者弄清楚这些示例问题究竟如何处理数学建模过程；帮助读者识别可以修改一些建模任务的方法，以及对建模过程中所给任务没有解决的不同部分进行强调。
附录B、C、E是不同类型的实例．附录B是学前到初中的建模实例；附录C是拓展的建模实例；附录E是中国高中建模实例。
附录D首先给出了一个形成性评价方案，用于评价参与建模过程中各个阶段的活跃的建模者，接着给出了从不同维度进行评价的评价量表。
附录F介绍了国际数学建模挑战赛。
《指南》一书的作者团队通过大量案例分章节介绍了从学前、小学、初中、高中、直到大学本科的数学建模教学和评估的方法，在附录中提供了翔实的教学案例和教学评估量表．使读者可以从宏观上领略数学建模是什么，数学建模的教学可以做什么，数学建模可以做到什么程度．也可以从微观上看到，不同学段数学建模的要求差别、教学差别，认识差别和实践操作上的差别．这对于打算开展数学建模教学实践的老师们，是非常宝贵的资源。
3 《指南》一书的主要观点
《指南》一书主要表达了以下观点：数学建模是一个过程、数学建模具有重要的育人价值、从学前到大学开展数学建模是可行的、数学建模的教学是有规律的、数学建模的评价是可行的、积累资源是建模实施的重要保障。
3.1 数学建模是一个过程
《指南》一书认为“数学建模是一个过程”．数学建模经常被描述成一个循环，因为常常需要返回到最初并重新做假设，以便更加接近可用的结果．数学建模过程如图1，这个过程包含了周期性要素，同时，并非所有的箭头都是单向的．一些要素可能会同时发生，一些也可能会根据需要而反复发生．书中列举了丰富的案例让读者感受什么是数学建模。
图1 数学建模过程
（1）厘定要解决的具体问题。
厘清确定现实世界中我们想要知道、做或理解的某种事物，其结果就是得到一个源于现实世界的问题。
（2）作出假设并定义基本变量。
在现实世界的问题中选择一些看上去比较重要的“对象”，识别它们之间的关系，并决定保留还是忽视那些对象或者它们之间的关系，结果得到一个初始问题的理想化版本。
（3）数学求解。
将这个理想化版本转换成数学术语并得出理想化问题的数学公式，这个数学公式就是模型．再进行数学运算和求解，看看得到什么结果。
（4）分析并评估模型和解决方案。
进行如下考虑：它解决问题了吗？当把它转变回现实世界时是否合乎实际和情理？其结果是否实际、答案是否合理、后果是否可接受？
（5）按需要进行迭代以完善和扩展模型。
我做必要的过程迭代，从而完善并扩展得到的模型。
（6）实施模型并报告结果。
面向现实世界和实际应用，向他人报告得到的结论，并实施解决方案。
3.2 数学建模具有重要的育人价值
《指南》一书的作者坚信：“数学建模应当在学生数学教育的每一个阶段都被教授……是因为数学在处理数学世界之外的问题方面意义重大．当学生从学校走向工作环境时，数学是能够帮到他们的，并使他们成为有见地的公民．学生具有数学建模经验是至关重要的，因为随着年级的提高，这些经验使他们广泛接触到各种各样的问题——如何确定平均降雨量？消防站设在哪里？什么是公平的投票制度？学生们能够学习并且领会到建模在他们所有的教育阶段中的重要性……数学建模能够用于激励课程的要求，并且在解决重要问题时能够突出数学的重要性和相关性，它还能帮助学生获得通用技能，如跨学科的思维习惯．”
在第二章讨论了数学建模在以下几个方面的价值：
◆ 数学建模可以启发数学过程和工具的应用。
◆ 数学建模能提前促进跨学科思考。
◆ 数学建模为提升沟通能力提供了机会。
◆ 数学建模促进团队合作。
◆ 建模任务可以帮助教师辨别学生对熟知情境的误解，使得学生能够更好的解释他们的想法。
数学建模在育人方面具有其它数学知识不可替代的作用。
3.3 从学前到大学开展数学建模是可行的
《指南》一书，给出了从学前到大学本科开展数学建模的一些很容易上手的例子．读者一定好奇，小学生也能做数学建模吗？《指南》一书通过具体的例子展示了如何在每个年级段开展数学建模教学活动．比如解决“午餐中的问题”：
入学前班~二年级，可以收集数据，讨论解决如下程度的问题：
（1）讨论我们组要吃掉多少胡萝卜？
（2）哪些食物与胡萝卜搭配最好？搭配量是多少？
（3）多大的餐盒可以装下这些胡萝卜？
（4）怎样用图来表示我们分析得到的结果？
（5）……
3~5年级，可以进一步讨论：
（1）胡萝卜和其它蔬菜的营养成份的比较。
（2）如何在各种食物中挑出或组成最佳的午餐。（最佳需要学生自己定义）
（3）如果把餐盒改成托盘，前面讨论的结果会有什么变化？（修改条件和假设）
（4）学校的伙食费有上限时，怎样安排各餐的品种和价位？（量化估计和预测）
（5）……
6~8年级，可以进一步讨论：
（1）给出选择的一个数量范围（成份、价格、是否送餐、口味等），选择决定购买哪种披萨饼。
（2）给披萨饼的售价找一个函数，自变量可以是直径、或是配送时间等。
（3）……
高中的建模案例就更加丰富、复杂、开放．如“乔丹罚球动态命中率如何算”、“如何选择购买高性能电脑”、“上哪个加油站加油更划算”、“尽量均匀的喷灌系统的喷头间距是多少”、“救灾物资的公平分配”……涉及的知识多是函数、几何、简单的概率统计。
大学的数学建模更强调了工具和方法，如线性和非线性的模型、离散动力系统、图论、决策论、博弈论、优化、统计、拟合、仿真等。
在《指南》一书中的附录中，有数十个来源于TIMMS、PISA测试中的应用问题，这对于低年级的教师是非常容易理解的．还有国际数学建模挑战赛（IMMC）2015、2016、2017年的赛题，以及上海市实验学校和北京十一学校提供的建模实例．很多问题和资源可以直接拿来在教学中使用。
3.4 数学建模的教学是有规律的
《指南》一书的第一章和第三章都强调了数学建模的以下教学原则：
（1）建模如同真实的生活是开放的、繁杂的．帮助学生提炼问题可能是一个好主意，这使得他们能够立刻发现哪些是需要考虑的重要影响因素．但是，这样做的同时也阻碍了学生独立工作，并且剥夺了他们对工作的投入感和成就感。
（2）当学生建模时，他们必须做真正的选择．最好的问题是使得决策关于对学生有意义的事物，并帮助学生认识到如何利用数学帮助他们做出好的决策。
（3）（课堂的）改变无论大小，只是开始。
（4）（建模的）评价应侧重过程，而不是结果．数学模型（和他们产生的结果）是与创建模型时所作的假设紧密相连的．评估应当有助于帮助学生提高他们的数学建模能力，届时这将转变为一个更好的教育成果。
（5）建模工作不是孤军作战（提倡学生团队协作、利用好网络资源等）．学什么是否在一个团队里？是否与全班分享他们的想法？是否可以上网做调研或收集数据？建模不是工作在真空中．数学建模的问题具有挑战性，但建模过程让你感受到在寻求答案时会得到支持。
《指南》一书的第三章，针对高中的建模教学，除了继续使用低中年级段数学建模教学所描写的建模过程和指导原则外，还给出了如下的指导原则：
（1）从小问题入手。
（2）用引导性问题和课堂讨论，支持初步经验的形成。
（3）使用日常经验来激发数学方法的使用。
（4）使用小型的建模情境、使得只需一两个要素就能组成一个完整的建模周期。
（5）与家长和管理者分享你的目标和教学实践。
3.5 数学建模的评价是可行的
《指南》一书在第二章指出：“评价应注重数学建模的整体过程．当你评价学生开发的模型时，你不应该只检查最终的答案，看其是否和预期相符．评估的重点应关注建模过程的哪些要素被呈现了，以及这些结果是如何在逻辑上被衔接起来的，工作质量包括对结果的反映，该模型可以怎样改进、何时可用、以及受和限制．对建模的回应可能比纠正一个具有清晰目标和明确答案的试卷更具有挑战性．迎接这一挑战，可以在许多领域的学术发展中，给学生提供更有意义的反馈．”
在《指南》一书的附录D中，给出了一些评估工具和量表．如D4表——针对建模小论文写作的一些分类评价项目：
（1）定义建模问题（3分）（还有3、2、1、0分的评判标准，此处省略，下面同此）
（2）建立模型：作出假设并承认局限性（3分）
（3）建议模型：定义变量并确定参数（3分）
（4）解决方案：模型使用有意义的数学方法（4分）
（5）解决方案：结果是令听众理解的（4分）
（6）模型的分析与评价（3分）
（7）写作风格与组织（5分）
类似的还有，建模要素分析表、建模项目检查表、口头报告评分表等．这些内容可以丰富、开阔教师观察和评价学生建模成果的角度、视野。
3.6 积累资源是建模实施的重要保障
《指南》一书不仅提供了丰富的案例，更重要的是通过大量的例子介绍了如何开发数学建模任务以及如何对原有的任务进行改编，以适合不同年级的需求．如：梯形桌下午茶任务、瓶子游戏任务、脚印问题、操场问题，等等．《指南》一书还对部分问题进行了详细的解读，给出了建模的过程．老师们可以直接根据书中的建议实施教学。
4 启示与展望
数学建模已经进入到义务教育和高中教育阶段，特别是新修订的《普通高中数学课程标准》为数学建模安排了课时，标志着中国数学建模又前进了一大步，同时，在实施过程中还存在很多挑战，《指南》一书对数学建模活动的实施具有很好的借鉴意义．通过对《指南》一书的阅读，得到以下几点启发，在这里与大家分享。
4.1 重新认识数学建模在中小学的育人价值
尽管数学建模活动在《标准（实验）》中已有明确要求，但是因为高考不要求，实际状况是绝大部分学校并没有开设数学建模课程．这需要中小学教师们，甚至数学教育工作者重新思考和认识数学建模的育人价值。
4.2 数学建模进入课堂教学是可行的
《标准（实验）》指出数学建模是贯穿于整个高中数学课程的重要内容，这是数学建模首次进入高中数学课程．新修订的《普通高中数学课程标准》为数学建模活动安排了课时，数学建模活动也将进入课堂．《指南》一书通过实例介绍了如何从学前班开始到大学持续地开展数学建模活动，说明数学建模活动进入课堂教学是可行的。
4.3 加强对数学建模教学资源的总结和推广
中国高中数学建模的摸索已有二十多年，积累了大量丰富的资源，在一定范围内容取得了一定的影响，也培养了一些优秀的学生．但是，对数学建模资源的总结不够，用于全员推广的可操作性有待提高。
4.4 中国数学建模在各学段的实施不平衡
高中阶段已有二十多年的积累，初中和小学才刚刚开始．高中阶段需要总结形成中国高中数学建模的特色，初中和小学需要开发资源、进入课堂。
4.5 资源建设是推动数学建模深入发展的重要抓手
《标准（实验）》稿颁布以来，一方面，很多学校探索了很好的数学建模教学经验；另一方面，若以全国所有的中小学为基数，数学建模教学才刚刚起步．因此，数学建模的深入发展面临很大的挑战，《指南》一书展示了大量的实例，进一步明确做好数学建模的资源建设是推动数学建模深入发展的重要抓手，要加强资源建设。
4.6 中高考中数学建模问题的设置
数学建模作为新修订的《普通高中数学课程标准》的必修和选择性选修的内容，是要进入高考的，如何在高考中考察数学建模呢？《指南》一书给出了数学建模各过程的评估工具，因此，可以考虑在中高考中只考察某个环节．如：高速公路行车安全的要素；影响刹车距离的主要因素，等等。
4.7 开展各种形势数学建模活动供招生参考
2014年《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》明确指出“不分文理科”[4]，可以说受此影响最大的是数学学科，大学的数学院系很难仅仅通过高考选拔人才，因此需要提供更多的平台来展示学生的才能．例如，数学知识应用竞赛、国际数学建模挑战赛、大学数学先修课程，等等，可以为大学自主招生提供参考。
最后，数学建模进入中小学数学课程发展的必然趋势，数学建模也将是数学教育发展的方向之一，老师们应该主动思考、积极实施。
［参 考 文 献］
[1] 叶其孝．美国大学生数学模型竞赛及一些想法[J]．高校应用数学学报，1989（4）：137-145．
[2] 王尚志，胡凤娟．大学数学先修课与优秀高中学生的发展[J]．数学教育学报，2017，26（3）：5-9．
[3] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）[M]．北京：人民教育出版社，2003：101，98．
[4] 国务院．国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见[EB/OL]．（2014-09-03）[2017-11-20]．http://old.moe.gov. cn//publicfiles/business/htmlfiles/moe/moe_1778/201409/174543.html.
《数学建模教学与评估指南》
原著：美国数学及其应用联合会（COMAP），美国工业与应用数学学会（SIAM）
编译：梁贯成，赖明治，乔中华，陈艳萍
出版社：上海大学出版社
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内容简介：本书英文版由美国工业与应用数学学会（SIAM）、美国数学及其应用联合会（COMAP）、美国全国数学教师协会（NCTM）联合推出，是影响美国数学教育、落实美国数学课程共同核心国家标准（CCSSM）的一部力作。中文版适值中国高中数学课程标准修订版即将颁布之际，本书的主要读者是教师，目的是向教师们展示如何在每一个年级引入数学建模，让学生在学习更多数学知识的同时，在更宽广的视野中看到数学一系列的重要应用。本书旨在为学校加强数学核心素养及数学建模的教与学提供助力。
