积分公式表大全推导(通俗演义微积分基本定理和公式的推导)

如何找到曲线X²和直线X=0、X=10和X轴所包围的面积？

它是将不规则图形划分为n个小的规则图形（梯形或矩形），计算n个小的规则图形的面积，并将它们相加以近似总面积。

如果测量员想要测量这样一个领域，他们会怎么做？它通常由一个三角形近似。将测量一个底部为10、高度约为70、面积约为350的三角形。

如果将间隔[0,10]划分为10个单元，则每个单元的长度为1。取每个单元[Ti，TJ]ξI（等于Ti+0.5）之间的点，每个dy=（Ti+0.5）²，整个区域分为10个矩形：

单元间求和∑，形式为：

=0.5²+1.5²+2.5²+3.5²+4.5²+5.5²+6.5²+7.5²+8.5²+9.5²=332.5

引用极限或无限的概念，如果dx→0（n）→∞)上面，ξI取每个单元格之间的右端点：

有

当n→∞,上述数值=1000/3

它也可以用定积分的形式表示：

dx说自变量在[0,10]范围内有差别的，dx指的是整个地区的差异。象征∫是英文“sum”首字母“s”的加长，表示面积差异的累积。

接下来，我们讨论一般情况下定积分的近似计算。

如果作用如果f（x）在区间[a，b]上是连续的，则存在下列公式的定积分。

我们把区间[a，b]分成n个等长的单元

每个单元格的长度是NicholasTse=（B-A）/N，在每个单元格ξi之间是可选的

（上限无限除法或定积分法可能无法找到极限值。）

上面的定积分计算一个特定的值（注意“definite”一词），它不是一般的函数关系表达式。这样，我们就可以用一般的方法来寻找极限关系（而不是用一般的方法来研究极限关系）。你能找到X的面积函数，即曲线X²和直线X，取任意值和X轴包围的面积函数，并给出X的值来计算面积。

这样的区域功能完整的表达式可以表示为：

面积函数f（x）怎么能用一个没有∫签名可以考虑的想法是，f（x）必须与曲线函数x²相关。

对于曲线外的一般情况，我们可以考虑x*，y=f（t），面积函数是a（x），如下图所示：

关键是找出F（x）或a（x）的一般表达式。此表达式是积分表达式的替代。从积分表达式来看，它必须与面积微分f（T）NicholasTse或f（x）NicholasTse有关。这是什么关系？

当积分上限为x时，在此基础上，将自变量x与面积函数区分开来，自变量x增加一个最小值H（DT）：

当h非常小时，上图中淡红色阴影部分几乎是一个小竖条，因此可以通过计算矩形面积来估计竖条的面积。它的底部是从X到X+H，高度是从0到f（X），所以面积是H*f（T），也就是说：

表达式h·f（x）是面积函数f（x）的微分。函数的微分/自变量的微分称为导数，也称为导数或导数，用F'（x）表示。在某些情况下，导数的形式比导数的形式更简洁，并且导数也可以通过绕道获得。上述公式可推导如下：

可以看出，曲线函数f（x）的逆导数是面积函数f（x），这是微积分的基本定理。

上面黑色部分的面积可以表示为：F（x）-F（a），这是微积分的基本公式。

函数的导数是函数的因变量相对于自变量的变化速度，即“变化率”。它可以用来求函数的最大值，曲线在某一点的切线斜率，以及变速运动的瞬时速度。

在衍生产品中无穷小和极限，但可以从近似表达式中删除无穷小和极限的符号，使表达式更简洁，例如：

同盟的

回到下面的公式：

x²的逆导数为1/3x³，因此，上述所需面积为：F（10）-F（0）=1000/3。

当然，如果你想找到由直线X=5，X=10和X轴包围的曲线X²面积：F（10）-F（5）=1000/3-125/3=875/3=291.6。

让物体沿直线以可变速度移动。在时间t，距离函数为s（t），速度函数为V（t）。然后在时间段[T1，T2]中，根据定积分的定义，物体经过的距离是

另一方面，s也可以使用距离函数s（T）Δs=s（T2）-s（T1）的增量，因此存在一个关系

因为s’（T）=V（T），也就是说，距离函数是速度函数V（T）的逆导数，所以定积分从无穷和变为差分。

例如，V（T）=T（8-T）

从（t（8-t））'=8-2t=0可以发现，当t=4m时，物体的最大速度为16m/s∈[0,16]，时间[0,8]，距离s的粗略估计值应小于16*8=128M。

S（t）=F（t）=∫（t（8-t）dt=4t²-1/3t³

象征∫以上表明不定积分，表情∫（t（8-t）DT表示求函数t（8-t）的逆导数或不定积分。

S=4t²-1/3t³=4*8²-1/3*8³=85.33米

参考：

《微积分基本定理》插图普林斯顿微积分读者14

3蓝色1棕色。COM：微积分的本质，积分和导数的基本定理

3蓝色1棕色。COM：积分和微积分的基本定理。什么是积分？

微积分基本定理（I）

微积分基本定理（2）

单维彰：微积分导论

－完——