1824年，一位年轻的挪威数学家尼尔斯·亨里克·阿贝尔得到了一个与某类方程有关的令人震惊的结果。不久之后，这位法国天才数学家埃瓦里斯特伽罗瓦它以深入的视角证明了这一结果的正确性，并在这一过程中开创了用数学研究对称性的先河。不幸的是，两人都英年早逝，没有时间享受工作带来的好处。阿贝尔1829年，他死于肺结核和贫困，享年26岁。伽罗瓦他死于1832年，并在一场据称是为一名女子而进行的决斗中被杀。那时他才二十岁。
尼尔斯·亨里克·阿贝尔
那么他们做了什么工作呢？方程式和对称性这有什么关系？
解方程
最著名的公式之一是二次方程的通解公式。如果方程式写为：
那么通解公式可以告诉我们方程的解是：
以及
无论a、B和C的值是多少，这个公式都可以告诉你答案是什么。它们使用起来非常方便。
这里有一个类似但更复杂的公式，可以告诉你三次方程的通解。方程式的形式为：
有一些更复杂的方程可以告诉你四次方程的通解。这些方程式可以写成：
虽然二次、三次和四次方程的通解公式看起来很复杂，但它们只包含有限的运算：加法、减法、乘法、除法、平方、三次和四次。
显然，你会问，我们能为你做些什么五次方程找到一个类似的通解公式？
更一般地说，包含x个高阶项多项式的方程式通解公式是什么样子的？
根据他的记忆，伽罗瓦的肖像是在他去世16年后的1848年由他的兄弟制作的
我们想要的是一个只包含加法、减法、乘法、除法和根运算的公式。如果一个方程有这样一个通解公式，那么我们说这个方程有一个根解。
1824年，阿贝尔证明：对于一般的五次方程，没有根解。当然，这并不意味着所有五次方程都没有根解。例如，多项式方程：
有一个解决方案：。
然而，对于一般的五次方程，没有普遍的根解公式。
阿贝尔证明了这个结果，但几年后，伽罗瓦真正意识到为什么五次方程式没有根本的解。伽罗瓦经常被认为是群论的创始人，群论是数学中对对称性的研究。我们通常认为对称是一种视觉现象：一幅画或图案可能是对称的。但对称性和方程有什么关系呢？答案很微妙，但很美。
不变对称性
首先，让我们思考一下对称到底意味着什么。我们说一个正方形是对称的，因为我们绕着它的中心轴旋转90度，或者在不同的轴上反射它并不会改变它的外观。所以对称意味着不变：如果一个物体具有某种对称性，那么我们就不会对它进行操作。
当我们考虑二次方程时，我们可以发现一点对称性。例如，二次方程
有两种解决方案
这个等式有两个方面分散但在某种意义上，它们非常相似：只需在一个解上加一个减号，就可以得到另一个解。也许交换两种解决方案不会有任何区别。就像镜像一个正方形意味着一种对称，交换方程的两个解也可能意味着一种对称。但这是什么样的对称呢？
参加无理数
蝴蝶有对称性，方程式也有对称性！
为了理解这些结果，让我们看看等式中包含的数字：
方程的系数是1和-2：两个系数都是有理数。但它的解决方案是两个无理数：你不能
和写为两个整数的除法。大多数二次方程的解是无理数，因此只考虑方程的系数是不够的。
让我们开阔一点眼界。我们不只是看一个群体有理数（写作）），我们还将研究一组新的数字。这组数字包括所有能写的数字其中a和B是有理数。显然，新的数字集包含所有有理数（b=0）和前一个二次方程的两个解和。
一组新的数字是独立的：你可以加、减、乘或除其中的两个，结果仍然在这组数字中。在数学方面，它被称为场。代数运算下的自包含是域的基本特征。事实上包括所有有理数和和最小的领域。
交换两种解决方案
现在让我们回到两个解决方案和。交换意见。停留都会吗和作为交换，我们可以使用作用F代表此交换操作：
应用于它不会在所有数字上都改变它也不会改变其结构。此外，它不会改变这个领域中的所有有理数。
显然，f不会改变域中的有理数。对于无理数，F作用后仍处于有理状态对（因为对其中一个数字，而且表中的一个数字。
此外，f作用于保持加法、减法、乘法和除法的结构。假设你是对的两个数字和加、减、乘、除得到一个新数字，然后和加、减、乘、除得到从某种意义上说，函数f是一个方程的对称变换。它不会改变。函数f称为字段属于-自同构：它来自它的双射函数不变保持代数运算下的结构。
伽罗瓦集团
还有其他的-自同构变换？答案是肯定的。事实上，还有一个-自同构变换，尽管这种自同构变换是平庸的。它使表中的每个数字保持不变。表示为函数：。属于-自同构集（即方程的对称集）只包含G和F。
一个事物的对称集合，无论是图形还是方程，都构成一个群。这个系统之所以是自包含的，是因为两个对称变换的组合仍然构成对称变换。在我们的示例中，对一行中的数字应用对称变换f两次不会改变该数字：
类似地，F先和G的组合，或G先和F的组合，构成F，G和G的组合仍然是G。我们方程的对称性由两组组成-自同构g和F，它们被称为方程属于伽罗瓦集团。
你为什么不能解一般的五次方程？
我们可以对任何其他多项式做类似的事情，比如五次方程：
A.B，C，D，e和F是有理数。类似地，我们可以把有理数字段扩展到包括和方程解的最小域。它叫分裂场
就像我们处理二次方程一样这样，你就可以观察到这个分裂区域的对称性。它的-自同构包括不改变域中数字的自同构变换和不改变域结构的自同构变换属于伽罗瓦集团。
纪念伽罗瓦的法国邮票
伽罗瓦能证明的是，一个方程是否有根解取决于它的伽罗瓦群的结构。有时，伽罗瓦的团队可以分成更小的组成部分，类似于取n次根如果是这样，那么方程有一个根解。
然而，如果不能以适当的方式将其分解成更小的分量，如果不能分离对称性，那么你找不到一个只涉及加法、减法、乘法、除法和求根的通用解，在这种情况下，方程没有根本解。
我们可以证明五次方程不能以适当的方式分解。因此，五次方程没有根本的通解。对于包含X的高次幂的多项式方程也是如此：它们没有根通解。用群论研究方程的解叫做伽罗瓦理论，这个理论是以发明者的名字命名的。
玛丽安·弗赖伯格
没什么
审核人：C&C
原始链接：顽固的方程和对称性的研究|plus。数学组织
编辑：Dannis，刘易斯
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