从这篇文章开始，我将带着大家学习《几何原本》第5卷有关比例的内容。第五卷由18条定义、25个命题组成，主要探讨比例。本卷被认为主要由古希腊数学家欧多克索斯发现，经欧几里得重新编排收录进《几何原本》的。
英国近代数学史家希思认为（希思的英译本《几何原本》虽然距今已逾一个世纪，但仍然是最权威的标准译本），希腊数学中没有什么发现比《几何原本》第五卷中的理论更能令人夸耀。霍金在《上帝创造整数》一书追溯了数学史上2500年间17位数学家31篇著作，该书对《几何原本》第五卷全部25个命题进行了详细的讲解，而第一卷中仅有命题47勾股定理被收录了，从中可见第五卷内容价值很高。
《几何原本》第五卷对数学的发展产生了较大影响，被认为解决了无理数的问题。自从毕达哥拉斯和他的学派发现勾股定理并进而发现无理数，从而引发第一次数学危机以来，古希腊人一时不知道如何面对无理数，他们不引用无理数,部分地想靠几何方法来避免它们(比如《几何原本》第一卷到第四卷内容)，不过这种几何方法并没有照顾到所有各类不可公度的量,而第五卷则补足了这个欠缺,它是从量的一般理论重新开始的。这样就使处理量的全部希腊几何有了可靠的基础。
这一讲，我主要向大家介绍《几何原本》第五卷中的18条定义，为了便于大家的理解，我在每个定义后面都做了一个备注说明。备注中用α、β、γ等拉丁文字母脚注来表示一般量(既可是有理数，也有可能是无理数)，用m、n、l等英文字母脚注表示正整数。
定义1:当一个较小的量能量尽一个较大的量时，则较小量是较大量的一部分。
备注:
1、如果β=mα（m为正整数），那么α是β的一部分。
2、这里的“一部分”是指若干分之一。例如2是6的若干分之一，而4则不是6的若干分之一。
定义2:当一个较大的量能被较小的量量尽时，则较大的量是较小量的倍量。
备注:
如果β>α，且β=mα（m为正整数），那么β是α的倍量。
定义3:比是两个同类量彼此之间的一种大小关系。
备注:
除无穷小量与无穷大量外，其它量均存在比的大小关系，需结合定义4进行理解。
定义4:若能把两量中任一量倍增后超过另一量，便说此两量有一个比。
备注:
1、如果mα>β且nβ>α（m、n为正整数），那么α与β之间有一个比。
2、该定义将并非0的无穷小量排除在外。如果两量中有一量小到不能使其有限倍超过另一量，那么根据欧几里得这个定义是不许它们之间有一个比的。
3、同时，这定义也排除了无穷大量，因那时取较小量的任何有限倍都不会超过那个较大量的。
定义5:有四个量，第一量比第二量与第三量比第四量叫作有相同比。如果对第一与第三个量取相同倍数，又对第二与第四个量取相同倍数，第一与第二倍量之间依次有大于、等于或小于的关系，那么第三与第四倍量之间也有相应的关系。
备注:
1、定义中第一句的意思是，有四个量，分别为α（第一量）、β（第二量）、γ（第三量）、θ（第四量），且α/β=γ/θ。
2、如果将第一个量α与第三个量β都乘以任一整数m，将第三个量γ与第四个量θ乘以任一整数n，则有:
①如果mα>nβ，那么mγ>nθ；
②如果mα=nβ，那么mγ=nθ；
③如果mα<nβ，那么mγ<nβ。
3、此定义是欧多克索斯(Eudoxus of Cnidus)比例理论的核心，即使α、β、γ等是无理数，此定义仍然成立。
定义6:有相同比的量称为成比例的量。
备注:
1、如果α和β的比与γ和θ的比相等，那么它们成比例。
2、用现代的方法表示为α/β=γ/θ。
定义7:在四个量之间，第一、三两个量取相同的倍数，又第二、四两个量取另一相同的倍数，若第一个的倍量大于第二个的倍量，但是第三个的倍量不大于第四个的倍量时，则称第一量与第二量的比大于第三量与第四量的比。
备注:
定义说的是，只要有那么一个m和那么一个n（m、n为正整数），能使mα>nβ而mγ≤nθ，则α/β>γ/θ。
定义8:一个比例至少要有三项。
备注:
只有三项的情形是α/β=β/γ。
定义9:当三个量成比例时，则第一量与第三量之比是第一量与第二量的二次比。
备注:
1、这句话的意思是，如果有三个量α、β、γ成比例（α/β=β/γ）,那么α与γ之比是α与β的二次比，用公式表达就是α/γ=（α/β）²。
2、因为α=β²/γ,所以有α/γ=β²/γ²=（α/β）²。
定义10:当四个量成连比例时，则第一量与第四量之比是第一量与第二量的三次比,其余不管有几个量的连比都依次类推。
备注:
1、这句话的意思是，如果有四个量α、β、γ、θ成连比例（α/β=β/γ=γ/θ），那么α与θ之比是α与β的三次比，用公示表达就是α/θ=（α/β）³。
2、因为α=β²/γ，所以有α/θ=β²/（γθ）=（β²/γ²）*（γ/θ）=（α/β）³。
定义11:在成比例的四个量中，将前项与前项且后项与后项叫作对应量。
备注:
这句话的意思是，如果有四个量α、β、γ、θ成比例（α/β=γ/θ），那么前项α与前项γ叫作对应量，后项β与后项θ也叫对应量。
定义12:更比例是让(有相同的比的两组量)前项比前项，后项比后项。
备注:
如果α和β的比与γ和θ的比相等，即α/β=γ/θ，那么更比例则是α与γ的比等于β和θ的比，即α/γ=β/θ。
定义13:反比例是后项作前项，前项作后项。
备注:
例如α/β的反比例是β/α。
定义14:合比例是前项与后项的和比后项。
备注:
例如α/β的合比例是(α+β)/β。
定义15:分比例是前项与后项的差比后项。
备注:
例如α/β的分比例是(α-β)/β。
定义16:换比例是前项比前项与后项的差。
备注:
例如α/β的换比例是α/(α-β)。
定义17:首末比例指的是，有一些量又有一些与它们个数相等的量，若在各组每取相邻两个量作成相同的比例，则第一组量中首量比末量如同第二组中首量比末量。或者换言之，这是去掉中间项，保留两头的项。
备注:
这句话的意思是，α、β、γ是第一组量，δ、θ、Ω是第二组量。如果有α/β=δ/θ，β/γ=θ/Ω，则有α/γ=δ/Ω，我们把α/γ=δ/Ω称为首末比例。
定义18:调动比例是这样的，有三个量，又有另外与它们个数相等的三个量，在第一组量里前项比中项如同第二组量里前项比中项，这时，第一组量里的中项比第三项如同第二组量里第三项比前项。
备注:
这句话的意思是，α、β、γ是第一组量，δ、θ、Ω是第二组量。如果α/β=δ/θ，且β/γ=Ω/δ，则称这两组比例为调动比例。
好了，这一讲就到这了。
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